Concours Médecine 2024 Mathématiques

Question 1

On considère la fonction \( f \) définie par :
\[f(x) = x - \frac{(\ln(x))^2}{x}\]

A) \( f' = 1 + \frac{2\ln(x)-(\ln(x))^2}{x^2} \) B) \( f' = 1 - \frac{2\ln(x)-(\ln(x))^2}{x^2} \) C) \( f' = -1 + \frac{2\ln(x)-(\ln(x))^2}{x^2} \) D) \( f' = -1 - \frac{2\ln(x)-(\ln(x))^2}{x^2} \) E) \( f' = 1 + \frac{2\ln(x)+(\ln(x))^2}{x^2} \)

Question 2

La fonction \( f \) :
\[f(x) = 2\ln\left(\frac{e^{x}+2}{\sqrt{1+e^x}}\right)\]
admet une asymptote horizontale ou oblique lorsque \( x \) tend vers \( -\infty \) ou \( +\infty \). Quelle est l'équation de cette asymptote ?

A) \( y = 2x \) B) \( y = x \) C) \( y = 0 \) D) \( y = -2\ln(2) \) E) \( y = -2x \)

Question 3

On considère la fonction \( g \) définie par :
\[g(x) = \frac{x^2+1}{x+1}\]
Déterminer le point \( x_0 \) où la tangente à \( C_g \) est parallèle à la droite d'équation \( y=x \).

A) \( x_0=0 \) B) \( x_0=-1 \) C) \( x_0=1 \) D) \( x_0=2 \) E) \( x_0=\emptyset \) (ensemble vide)

Question 4

Soit
\[z = \frac{(1-i)^{10}}{(1+i\sqrt{3})^4}\]
Quelle est la bonne réponse ?

A) \( |z| = 4 \) B) \( |z| = \frac{1}{2} \) C) \( \text{arg}(z) = \frac{\pi}{6} [2\pi] \) D) \( \text{arg}(z) = \frac{3\pi}{2} [2\pi] \) E) \( \text{arg}(z) = \frac{\pi}{2} [2\pi] \)

Question 5

Soient \( z_1, z_2, \) et \( z_3 \) trois nombres complexes distincts ayant le même cube, c'est-à-dire \( (z_1)^3=(z_2)^3=(z_3)^3 \). Quelles sont les valeurs possibles de \( z_1, z_2, \) et \( z_3 \) ?

A) \( z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -i \) B) \( z_1 = 1, z_2 = \omega, z_3 = \omega^2 \) où \( \omega = e^{2\pi i/3} \) C) \( z_1 = 1, z_2 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, z_3 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \) D) \( z_1 = 2, z_2 = -1, z_3 = 1 \) E) \( z_1 = 1, z_2 = -\omega, z_3 = -\omega^2 \) où \( \omega = e^{2\pi i/3} \)

Question 6

Soit dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) les points \( A(0; 3; 1), B(-1; 3; 0) \) et \( C(0; 5; 0) \). La sphère (S) a pour équation :
\[x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 5 = 0\]
Quelles sont les coordonnées du point de tangence H du plan (ABC) et de la sphère (S) ?

A) \( (2; 2; \sqrt{5}) \) B) \( (2; 3; 1) \) C) \( (2; 2; 1) \) D) \( (0; 1; 2) \) E) \( (0; -1; 2) \)

Question 7

On suppose que 2000 personnes ont envoyé un SMS dans le cadre d'un mini-jeu télé qui consistait à répondre à une question à 2 choix. La société qui gère ce "jeu-SMS" sélectionne 30 SMS au hasard parmi les 2000. On note \( \Omega \) l'ensemble de tous les sous-ensembles de 30 SMS (distincts). Combien d'éléments contient-il ?

A) \( A_{2000}^{30} \) B) \( C_{2000}^{30} \) C) \( 1970 \) D) \( \frac{2000!}{30!} \) E) \( 2000 \)

Question 8

On considère maintenant que vous faites partie des personnes qui ont envoyé un SMS. Quelle est la probabilité que vous soyez sélectionné(e) parmi les 2000 participants ?

A) 0.12 B) 0.03 C) 0.015 D) 0.02 E) 0.3

Question 9

Soit \( U_n = \ln(1 + ne^{-n}) \), \( n \in \mathbb{N} \). Quelle est la bonne réponse ?

A) La suite (\( U_n \)) est bornée B) \( \lim_{n \to +\infty} U_n = +\infty \) C) \( \lim_{n \to +\infty} U_n = 1 \) D) La suite (\( U_n \)) est divergente E) \( \lim_{n \to +\infty} U_n = 0 \)

Question 10

Soit la suite \( w(n) \) définie par \( w_0 = 1 \) et \( w_{n+1} = \frac{w_n + 3}{2w_n + 4} \) et on pose \( y_n = \frac{4}{2+w_n} \).
\( y_{n+1} \) vérifie la relation suivante :

A) \( y_{n+1} = \frac{23}{6+y_n} \) B) \( y_{n+1} = \frac{32}{6+y_n} \) C) \( y_{n+1} = \frac{-6}{32+y_n} \) D) \( y_{n+1} = \frac{6}{32+y_n} \) E) \( y_{n+1} = \frac{32}{20+y_n} \)

Question 11

Soit (E) l'équation: \( x^x = (\sqrt{x})^{x+1} \). Quelle est la bonne réponse ?

A) \( x=1 \) est une solution B) \( x=2 \) est une solution C) \( x=0 \) est une solution D) \( x=e \) est une solution E) l'équation (E) n'admet pas de solution.

Question 12

Calculer l'intégrale suivante:
\[ \int \frac{\cos x \, dx}{2+\sin x} \]

A) \( \frac{1}{2} \ln|2+\sin x| + C \) B) \( \ln |2+\sin x| + C \) C) - \( \ln |2+\sin x| + C \) D) \( \ln |2+\cos x| + C \) E) \( \frac{1}{2} \ln|2+\cos x| + C \)

Question 13

Soit \( f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x \). Quelle est la bonne réponse ?

A) \( D_f = ]0, +\infty[ \) B) \( D_f = \mathbb{R}^* \) C) \( D_f = ]-\infty, -1[ \cup ]0, +\infty[ \) D) \( D_f = ]-1, 1[ \) E) \( D_f = [-1, 1] \)

Question 14

Soit \( f(x) = x \sin(\pi x) - \ln(x) - 1 \) définie sur \( ]0, 1] \). Quelle est la bonne réponse ?

A) \( f \) est majorée B) Il existe \( c \in ]0, 1] \) tel que \( f(c) = 0 \) C) \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty \) D) \( f \) est croissante E) \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = -1 \)

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Épreuve de Mathématiques